서 론

선박에서 DC모터의 속도제어를 정밀하게 할 필요가 있는 장치로는 발전기의 부하 및 회전속도 조정용 가버 너 모터(governor motor), 그리고 가변피치 프로펠러 시 스템의 전‧후진 피치 제어용 구동장치(actuator) 등이 있 다. 또한 공장자동화시스템에서 연속 회전운동을 간헐 운동으로 변환하는 캠-인덱스(cam-index) 장치 등은 외 란에 대한 제어계의 강인성이 특별히 요구된다. 그러나 이들 장치는 모델의 파라미터 불확실성이 커 기존의 PID 제어로는 강인한 제어 성능을 얻기가 어렵다(Han et al., 2017; Alfonso et al., 2004).

슬라이딩모드 제어(SMC; Sliding Mode Control)는 외란과 파라미터 불확실성에 강인한 제어 성능을 갖는 것으로 보고되고 있으며 다양한 분야에 적용되고 있다 (Hanifi, 2003). 특히, 최근 AC모터나 DC모터의 제어를 위해 인버터(inverter)나 초퍼(chopper)와 같은 전력변환 장치가 사용되면서 출력 패턴의 유사성으로 인해 SMC 의 사용 범위가 확대되고 있다(Dursun and Durdu, 2016; NAZANIN and Yazdi, 2013).

SMC의 강인한 제어성능을 확인하기 위해 DC모터시 스템을 대상으로 부하가 인가될 경우의 제어 성능을 비 교한 연구가 보고되어 있다(Maheswararao et al., 2011; Ahmed, 2012; Venkatesh et al., 2016). 이 연구에서는 SMC와 PID 제어기의 제어성능을 다양한 부하들을 인 가한 시뮬레이션을 통해 SMC가 PI 제어기보다 부하 변 동 및 모델의 파라미터 변동에 더 강인함을 입증하였다 (Han and Jeong, 2018). 하지만 이 SMC 제어는 무부하 시에는 양호한 제어성능을 발휘하지만, 정격부하 근방 의 부하 인가 시에는 미소한 속도 정상상태오차가 발생 하는 것으로 확인되었다. 이는 SMC가 전류 제어기를 내부루프로 갖지 않는 전압 제어형이며 SMC의 채터링 방지를 위해 포화함수를 이용한 것에 기인한 것으로 보인다.

따라서 본 연구에서는 이러한 문제점을 보완하고자 외란관측기(DOB; Disturbance OBserver)를 갖는 SMC 를 제안한다. 제안된 DOB 기반의 SMC는 계단형 부하 인가와 모터의 파라미터 변동을 상정한 시뮬레이션을 통해 그 타당성을 검증하였다.

재료 및 방법

DC모터의 상태공간 모델링

Fig. 1은 타여자 방식의 전기자 전압 제어형 DC모터 모델의 개념도이다. DC모터의 전기계 동특성은 식 (1), 기계계의 동특성은 식 (2)와 같다(Kim, 2010).

여기서 L_a, R_a는 전기자의 인덕턴스 및 저항, B, J 는 베어링 마찰계수와 모터 축의 관성모멘트를 각각 나타 낸다. 출력변수인 i_a (t), ω_m (t)는 전기자전류와 모터의 회전속도, 입력변수인 υ_a (t), υ_b (t)는 전기자전압과 역 기전력으로서 υ_b (t) =K_eω_m (t)이다. 이때 K_e 는 역기 전력 상수이다. τ_e (t), τ_L (t)는 각각 전자기적 토크와 외 란 토크로서 τ_e (t) = K_ti_a (t)이고 이때 K_t 는 토크상수 이다.

전기자전압 제어를 가정하여 제어입력 u(t)를 u(t) = υ_a (t)로 두고, 식 (1)과 식 (2)를 ω ¨ m 에 대하여 정리하면 식 (3)과 같이 된다. 이때, 부하 토크 τ_L 은 미지 의 외란이므로 제어 모델에서는 τ_L = 0으로 둔다. 또한 시간함수들은 편의상 독립변수 t의 표기를 생략하여 이 하에서는 u(t)를 u와 같이 기술한다.

식 (3)에서 x₁과 x₂를 x 1 = ω m , x 2 = x ˙ 1 = ω ˙ m 으로 정의하면 상태방정식은 식 (4)와 같이 유도된다.

SMC 설계

슬라이딩모드 제어는 모델의 불확실성, 파라미터의 변동과 외란에 강인한(robust) 제어 기법 중 하나이다. Fig. 2는 SMC의 개념도이다. SMC 설계는 주목하고 있 는 상태변수를 설계자가 설계한 슬라이딩 평면(sliding surface)을 따라 원점으로 수렴하도록 제어입력 u를 설 계한다. 이때 제어입력 u는 연속 입력과 불연속 입력의 합인 u = u_c + u_s 로 구해진다.

Fig. 3은 SMC에 기반한 DC모터 속도제어계의 개략 적인 블록선도이다. DC모터의 PI 속도 서보제어계는 일 반적으로 외부루프 ASR (Automatic Speed Regulator)과 내부루프 ACR (Automatic Current Regulator)의 2중 구 조인데 반해 SMC는 내부루프를 갖지 않는 단순 전압 제어 형태로 구성된다.

SMC의 설계는 우선, 제어대상의 상태방정식을 이용 하여 슬라이딩 평면을 설계한다. 다음, 도달법칙 등을 적용하여 제어입력 u 를 설계하고, 마지막으로 시스템 의 안정성을 확인한 후 채터링(chattering)을 억제하기 위한 방법을 적용한다(Wilfrid and Barbot, 2002).

속도제어를 위해 속도 제어편차 e를 식 (5)와 같이 정의한 후, 식 (4)가 2차계임을 고려하여 슬라이딩 라인 을 식 (6)과 같이 설계한다.

여기서 x₁은 모터의 현재 회전속도, x_d는 회전속도 지령값, c는 슬라이딩 라인의 기울기이며 Hurwitz의 안정조건을 만족시키는 값으로 c > 0이다. 이 c값이 클 수록 지령값에 대한 추종속도가 빨라지지만(Vadim et al., 2009) 이는 제어입력의 증가를 동시에 초래하므로 모터 의 최대 허용 전류값의 범위 내에서 이 값을 설계한다.

일반적으로 SMC의 제어입력 u는 도달법칙(reaching law)인 식 (7)로부터 유도할 수 있다(Liu and Wang, 2011).

여기서 부호함수(signum function)인 sgn(s)는 식 (8) 과 같이 정의되고, 식 (7)에 식 (4)∼(6)을 대입하여 u에 대해 풀면 제어입력 u는 식 (9)와 같이 유도된다.

여기서 s = 0, s ˙= 0을 만족하는 연속 제어입력 u_c는 식 (9)의 우변 첫 항으로 다음 식과 같다.

한편, 식 (9)의 우변 제2항은 스위칭을 통해 상태변수 를 강제적으로 슬라이딩 라인 위에 도달시키는 불연속 제어입력 u_s 로 다음 식으로 정의된다.

또한, 식 (11)의 JL_aM/K_t 은 식 (7)에서 M > 0인 큰 값에 해당하므로 본 논문에서는 이 K를 모터의 정격 전압 값으로 설정하였다.

설계된 SMC의 안정성은 Lyapunov의 제2방법인 V > 0 , V ˙ < 0의 동시 만족 여부를 확인하였다. 양의 한 정(positive definite)함수 V 를 V = s²/2으로 정의하고, V ˙ = s s ˙ 을 식 (6)과 식 (7)로부터 구해보면, s s ˙ < 0 을 만 족하므로 설계된 SMC 시스템이 점근 안정 (asymptotically stable)임을 알 수 있다. SMC의 단점은 식 (9)의 불연속 제어입력 u_s 로 인한 제어량의 채터링 발생 문제이다. 이 문제를 해결하기 위해 실제 시뮬레이 션에서는 부호함수 ‘sgn’ 대신 포화함수(saturation function) ‘sat’를 사용한다.

외란관측기 설계

식 (2)에서 제어입력을 유도할 때, 미지의 외란인 부 하를 τ_L = 0로 가정하였으므로, 식 (9)는 당연히 외란을 포함하고 있지 않다. 속도가 정상상태에 도달 시의 연속 제어입력 u_c는 x 2 = ω ˙ m이므로 식 (10)으로부터 미분항 들을 제거하여 식 (12)와 같이 유도된다.

이 식에서 K e x 1 = υ b 이므로 이를 좌변으로 이항하여 정리하면 식 (12)는 식 (13)과 같이 표현된다.

식 (1)에서 과도항을 0으로 두면, R a i a = u − υ b 로 되고, 식 (2)에서 과도항과 τ_L 을 0으로 두면, Bw_m = τ_e = K_ti_a이므로 i_a = Bω_m/K_t 이다. 이 관계 를 R_ai_a = u - υ_b에 대입하면, 식 (13)이 유도된다. 결 국, 식 (2)에서 정상상태에서의 모터 속도 ω_m이 전자기 적 토크 τ_e와 외란 τ_L 의 차 (τ_e - τ_L)에 의해 ω_m = (τ_e - τ_L)/B 로 결정됨에도 외란을 배제하여 제 어입력을 구하였으므로 외란 인가 시 정상상태오차를 유발함을 알 수 있다. 내부루프에 전류제어기를 갖는 PI 제어계의 경우에는 전류 피드백에 의해 이 영향이 신속히 보상된다. 하지만, 전류제어기를 갖지 않는 전압 제어 형태인 SMC는 τ_L 로 인해 속도오차가 커지면, 주 목하는 상태변수가 슬라이딩 라인을 벗어나게 되고, 이 때 불연속 제어입력인 u_s 에 의해서 보상이 가능한 구조 이다. 그러나 τ_L 의 영향이 작을 경우 포화함수 사용으로 인해 u_s 의 보상이 충분하지 못한 상태에서 미소한 속도 정상상태오차가 발생하는 것으로 추론된다.

외란을 고려한 경우의 정상상태 제어입력 u ˜ c는, 식 (2)에서 Bw_m = τ_e - τ_L = K_ti_a - τ_L이므로 전기자전 류 i_a는 i_a = (Bω_m + τ_L)/K_t 로 된다. 이를 식 (1)에 대 입하면, 제어입력 u ˜ c는 식 (14)와 같이 된다.

외란 τ_L 의 고려 유, 무에 따른 제어입력의 차는 식 (12)와 식 (14)의 차에 해당하므로 R_aτ_L /K_t 임을 알 수 있다. 실제로 τ_L 은 미래의 미지 값(unknown value)이다. 따라서 외란관측기(disturbance observer)로 외란을 추정 하여 이를 기존의 제어입력 u_c에 보상하면 부하 인가 시에도 정상상태오차가 발생하지 않는 엄밀한 속도제어 가 가능하게 됨을 알 수 있다.

Fig. 4는 외란관측기의 외란 추정 원리와 본 논문에 서 제안한 외란관측기의 블록선도이다. 그림에서 s는 미분연산자로 s = d/dt이다. 또한 T는 샘플링 시간이 다. Fig. 4(a)는 B=0일 때 외란 토크 τ_L 의 추정 원리를 보여주는 블록도이고, 속도의 미분 조작으로 인한 고조 파와 관측 잡음 제거를 위한 1차 저역통과필터(LPF)가 추가되어 추정된 외란 τ ^ L 을 얻는다. Fig. 4(b)는 주파수 의 완전 미분 조작을 피하기 위한 전류 제어 구조에서 의 실용적인 외란관측기의 블록도이다. Fig. 4(c)는 본 논문에서 제안한 전압 제어형 SMC용 외란관측기 블록 도이다.

엄밀한 속도제어를 위해 베어링의 마찰계수 B까지를 고려하였고, 점선 내부에 표시된 DOB의 출력 τ ^ L 이 식 (14)의 우변 첫 항인 등가전압 지령 u_c에 보상되도록 하였다. 제안된 DOB는 전류와 속도 정보만을 이용하며, 속도의 미분 항을 갖지 않는 구조로 설계되었다.

전류는 모터의 안전 확보 차원에서, 속도는 제어를 위해 상시 계측하는 정보이므로 별도의 부가 센서 장착 없이도 제안된 DOB의 구현이 가능함을 알 수 있다.

DOB는 식 (2)에서 s = d/dt, τ_e = K_ti_a를 대입하면 식 (15)와 같이 쉽게 유도된다.

결과 및 고찰

Table 1은 본 연구에서 사용한 실제 DC모터 (SK76-NO75200)의 정격값과 제어에 사용된 모터의 파 라미터이다. 모터의 최대 허용 전류는 16 A이다. Table 2는 시뮬레이션에서 사용된 SMC의 설계인자와 DOB의 1차 LPF의 시정수이다. SMC의 설계인자 Φ는 포화함수 의 경계층 두께(boundary layer thickness)를 의미하며 200으로 정하였다. 또한 필터의 시정수 T는 모터 전기 계의 시정수인 L_a/R_a의 값으로 정하였다.

시뮬레이션에서는 먼저 SMC의 DOB 유무에 따른 무 부하 상태 및 부하 인가 시의 속도제어 성능을 확인하였 다. 부하는 5 sec 시점에 계단형으로 인가하였고, 속도 지령은 0 rpm에서 1,500, 2,000, 2,500 rpm으로 상승시 킨 뒤 다시 역순으로 하강시키는 패턴을 인가하였다. 이 시뮬레이션에서는 DOB를 갖지 않는 SMC가 무부하 시에는 엄밀한 속도제어가 가능하지만, 정격부하 근방 의 부하 인가 시에는 미소한 정상상태 속도오차가 발생 함을 보인다.

Fig. 5와 Fig. 6은 DOB를 갖지 않는 SMC에서 무부하 시와 80% 부하 인가 시의 속도 응답을 나타낸 것이다. 또한 Fig. 5(b)와 Fig. 6(b)는 정상상태에서의 미소한 속 도오차를 엄밀하게 확인하기 위해 2,500 rpm 부근의 속 도 영역만을 확대시킨 그림이다.

Fig. 5와 Fig. 6을 비교해 보면, DOB를 갖지 않는 SMC는 무부하 시에는 속도의 정상오차가 발생하지 않 지만, 정격토크의 80% 계단형 부하(0.51 N‧m)인가 시 에는 정상오차가 발생한다. 이는 정상상태에서 출력되 는 전압지령 u_c에 외란 τ_L 의 보상이 반영되지 않았기 때문이다.

한편, Fig. 7은 5 sec 시점에 정격토크의 60%, 80%, 100%의 계단형 부하를 각각 인가한 경우에, Fig. 4(c)에 서 제안한 DOB를 갖는 SMC의 속도 응답을 나타낸다. 그림으로부터 세 종류의 부하의 경우에도 정상 속도오 차가 발생하지 않음을 볼 수 있다. 이를 통해 설계된 DOB의 타당성을 확인할 수 있다.

Fig. 8은 모터의 부하 인가 및 파라미터 변동에 대하 여 DOB를 갖는 SMC의 강인성을 확인한 시뮬레이션 결과이다. 인가된 부하는 정격토크의 80%, 모터 시스 템의 파라미터는 R_a, L_a, J, B 를 대상으로 하였고, DOB를 갖는 SMC의 2,500 rpm 부근의 속도 응답을 각각 나타낸다.

Fig. 8(a)와 모든 모터 파라미터가 모두 공칭값의 150% 변동하는 Fig. 8(b)의 경우에는 미소한 속도 정상 오차가 발생하였다. 하지만 그 오차는 대략 0.25 rpm으 로 지령 속도 값 기준의 0.01%에 그쳤다. 모터의 기계계 의 파라미터인 B 와 J 가 각각 공칭값의 150% 변동하는 경우에는 속도 정상오차가 발생하지 않았다. 따라서 DOB를 갖는 SMC는 모터 파라미터 변동 하에서도 강인 한 속도 제어 성능을 보임을 확인하였다.

Fig. 9는 Fig. 8의 시뮬레이션에서 (a)∼(d)에 대응된 외란 토크 추정 파형을 각각 나타낸다. 속도 과도 응답에 영향을 미치는 파라미터인 J 는 속도가 변동하는 시점인 2 sec, 4 sec, 6 sec, 8 sec 시점에 임펄스에 가까운 외란이 추정됨을 알 수 있고, 나머지 파라미터는 정상 토크에만 영향을 미치는 것을 확인할 수 있다. 이는 합리적인 추정 결과로 볼 수 있다.

이상의 결과를 종합하면, DOB를 갖지 않는 SMC는 무부하 조건에서는 속도 정상오차를 발생시키지 않으 나, 부하 조건에서는 정상오차를 발생시킴을 확인하였 다. 본 논문에서 제안한 DOB를 갖는 SMC는 이러한 정상오차 문제를 해결할 뿐만 아니라 모터의 파라미터 변동에도 강인한 속도 제어 성능을 보임을 확인할 수 있었다.

결 론

본 논문에서는 계단형 부하 및 파라미터 변동을 포함 하는 DC모터 속도제어계의 강인한 제어 성능 확보를 위해 SMC의 DOB를 설계하였고, 그 타당성을 Matlab 시뮬레이션을 통해 확인하였다. 시뮬레이션을 통해 얻 은 주요 결과들을 요약하면 다음과 같다.

본 논문에서 설계한 SMC는 향후 실험을 거쳐 잦은 외란 인가 또는 파라미터 변동이 수반되는 DC모터의 정밀한 속도제어에 활용될 수 있을 것으로 기대된다.